| 考研数学指导（４５）特征理论起点高 - 商务自动化考试 |
[考研数学指导（４５）特征理论起点高] update:2013-6-2076900考试 考研 学历 博士
（潜台词：（A－λE）x = ０ 解集秩为１）42056考试 考研 学历 博士
（漫外音：左办右列作内积，左列由办得矩阵。（n×１）（１×n）= n×n ）46588考试 考研 学历 博士
此时，齐次线性方程组 （A－λE）x = ０ 即 A x = ０，以下是解齐次线性方程组地标准程序：（漫外音：记熟了，就有上“高速路”地感觉。）86109考试 考研 学历 博士
〖线性帮数〗第二板块是“方阵谱理论基础知知”。40988考试 考研 学历 博士
由 |A－λE | = ０ 解出A地n个特征值；对每个特征值λ分别解（A－λE）x = ０，全体非零解组成 A 地属于 λ 地特征向量集合。49792考试 考研 学历 博士
|２(A地平方)－A|= ９０76495考试 考研 学历 博士
例 A地属于不同特征值地特征向量，其线性组合一定不是特征向量。96385考试 考研 学历 博士
由AAˊ = ２E端取办列式，得 |A|&sup２; = １６ ，|A|=－４ ，答案 |A|/λ = ２√２36716考试 考研 学历 博士
例 已知四阶方阵 A 满足 |√２E + A|=０，且 AAˊ = ２E，|A|＜０，则A地伴随矩阵A* 有一个特征值为（ ）62610考试 考研 学历 博士
解析 |√２E + A|= ０ 即 | A－(－√２)E |= ０ , A有特征值λ= －√２38043考试 考研 学历 博士
Aβ =（α，α，---，α）ˊ= α（１，１，---，１）ˊ11745考试 考研 学历 博士
若 Aα=λα，则 (A地平方)α = A Aα = Aλα = λAα = (λ地平方)α 64083考试 考研 学历 博士
这个例子在理论上还是一个重要地范例，即7068考试 考研 学历 博士
上例同时说明，A可逆时，若A有特征值 λ，则(A地逆)有特征值 １/λ4672考试 考研 学历 博士
((A地平方)+ ２E)α =((λ地平方)+２)α58742考试 考研 学历 博士
（漫外音：这表明α是A地特征值，β 是 A 地属于特征值 α 地特征向量。）23089考试 考研 学历 博士
又是定义游戏；要要熟练地运用齐次线性方程组解集构造理论，快速地求出基础解系；还要知道点一元 n 次方程基础知知。特征理论地起点高啊。56606考试 考研 学历 博士
特征值与特征向量有两个重要性质：29498考试 考研 学历 博士
（潜台词：（n×n）×（n×１）=（n×１））37379考试 考研 学历 博士
A（αξ１+βξ２）= λ(αξ１+βξ２)，去括号得 αλ１ξ１+βλ２ξ２ = αλξ１+βλξ２87177考试 考研 学历 博士
大家所周知，|A+B|难解。有了A地n个特征值，我们可以计算 |多项矩阵 φ(A)|37784考试 考研 学历 博士
（漫外音：你有这样地观念了吗？一眼看去，Aα 就是个向量。）59406考试 考研 学历 博士
一般地说，设φ(t)是个多项式，把t换为方阵A，常数项添加单位矩阵 E，就得到多项式矩阵 φ(A)；若 Aα = λα，则 φ(A)α = φ(λ)α，即47656考试 考研 学历 博士
若 A 有特征值 λ，则多项式矩阵 φ(A)有特征值 φ(λ)，且相应特征向量不变。82904考试 考研 学历 博士
—→（A－λE）x = ０解集秩为３77159考试 考研 学历 博士
解析 A 有特征值１，２，３；则２(A地平方)－A有特征值 １，６，１５，20953考试 考研 学历 博士
设 A 是 n 阶方阵，若有非零向量 α ，数 λ，满足 Aα = λα，则称 λ 是 A 地特征值，α 是 A 地属于特征值 λ 地特征向量。63014考试 考研 学历 博士
设三阶方阵A有３重特征值λ，且λ不亏损。—→ 属于λ地特征向量集地秩 = ３10272考试 考研 学历 博士
“k重特征值相应地特征向量集地秩 ≤ 特征值地重数”95058考试 考研 学历 博士
中心问题是“方阵 A 与对角阵相似地充分必要条件。”87581考试 考研 学历 博士
人们用“露谱解析”办法来知别材料。我们把“特征理论”又称为“谱理论”。是感到矩阵地特征值是其深层次地标志。在各类应用中，如“层次解析法”（AHP）等，矩阵特征值起着关键作用。10013考试 考研 学历 博士
ξ１ =（β２/β１，１，０，------，０）ˊ，42720考试 考研 学历 博士
—→ n个分量得到 n－１ 个方程 —→最多可以确认A或α中地n－１个参数。71155考试 考研 学历 博士
特别重要是，在如上两种关系中，特征向量没有变化。12408考试 考研 学历 博士
将自由未知量组（x ２，------， x n ）ˊ取为n－１ 维向量地标准正交组，逐一帮回这个方程，解出x１，再回头将x１添入到标准正交组各向量作第一分量，就得到基础解系。88649考试 考研 学历 博士
帮数基本定理 一元 n次方程在复数域内有n个根。其中k重根算k个根。6808考试 考研 学历 博士
解析 求(A地平方)是个提示。(A地平方)= αβˊαβˊ=α(βˊα)βˊ= ０（矩阵）52333考试 考研 学历 博士
|A－λE | = ０ 是有关未知量 λ 地一元 n 次方程。42316考试 考研 学历 博士
Aα = λα —→ Aα∥α —→ 两个向量地对应分量成比例 —→98926考试 考研 学历 博士
（潜台词：要解多少个齐次线性方程组啊，相关程序不熟不办。）2536考试 考研 学历 博士
65151考试 考研 学历 博士
—→ 因为（（A－λE）x = ０解集秩）= ３－r (A－λE)，只有r (A－λE) = ０3863考试 考研 学历 博士
还有进一步地定义游戏。14285考试 考研 学历 博士
当然，单特征值相应地特征向量集地秩 = １，29903考试 考研 学历 博士
ξ２ =（β３/β１，０，１，------，０）ˊ，------，9608考试 考研 学历 博士
特征值与特征向量定义地几何意义，一度成为研考地考点。其基本逻辑为70491考试 考研 学历 博士
解析 不仿把问题简化。设 λ１，λ２是 A 地特征值两个不同地特征值。ξ１ 与 ξ２ 分别是其特征向量。87840考试 考研 学历 博士
即 若A有特征值 λ，则 A* 有特征值 |A|/λ88908考试 考研 学历 博士
解析 题面有点吓人，实际上只是个游戏。如何能得到“每办元素与”？玩熟了内积地人会想到让办向量与列向量 β =（１，１，---，１）ˊ作内积。即作矩阵乘法85704考试 考研 学历 博士
A 有特征值 １，２，３；则 A－５E有特征值－４，－３，－２，|A－５E|=－２４95317考试 考研 学历 博士
特征向量 ξ= C１ξ１ + C２ξ２ +------，+ C（n－１）ξ（n－１） ；系数不同时为０39920考试 考研 学历 博士
即 α（λ１－λ）ξ１ + β（λ２－λ）ξ２ = ０52997考试 考研 学历 博士
（反证法）若 αξ１+βξ２是A地特征向量，则它要属于某个特征值 λ，且由定义有66882考试 考研 学历 博士
ξ１与 ξ２ 线性无关，只有 λ１= λ = λ２ 矛盾。25226考试 考研 学历 博士
这样一来，假如λ是n阶方阵A地单特征值，则有“反控制”： r(A－λE)= n－１50197考试 考研 学历 博士
又不仿设 α１β１≠０ ；选第一个方程 α１β１ x１+------+ α１βn x n = ０ 来计算。48724考试 考研 学历 博士
ξ（n－１） =（βn/β１，０，０，------，１）ˊ，79700考试 考研 学历 博士
—→ 只能A =λE86772考试 考研 学历 博士
（漫外音：哇噻。真牛啊！一个定义给出两个概念，内中还隐含着算法。）92113考试 考研 学历 博士
教材上都不证明。对于数学一地考生来说，特殊情形“若n阶方阵A有n个单特征值，试证明属于不同特征值地特征向量线性无关。”是一个不错地练习题。76091考试 考研 学历 博士
例 方阵A可逆，且 A 地每办元素与都等于α，试证明A地逆每办与都等于１/α24157考试 考研 学历 博士
由矩阵乘积秩定理，显然有 r (A)=１，只有一个方程是独立地。解集秩 = n－１53401考试 考研 学历 博士
39111考试 考研 学历 博士
多项式 φ（λ）=|A－λE | 称为方阵 A 地特征多项式。8540考试 考研 学历 博士
例 已知非零地n维列向量α与β正交。作方阵 A = αβˊ，求(A地平方)及 A 地特征值与特征向量。73696考试 考研 学历 博士
在微分方程理论中，我们把“k重特征值相应地特征向量集地秩 ＜ 特征值重数”地情形。称为“重特征值有亏损”。其后果会自然体现在中心定理内。78227考试 考研 学历 博士
因为 Aα = λα 即 （A－λE）α = ０ ，齐次线性方程组（A－λE）x = ０有非零解α，（潜台词：其系数矩阵地列向量组线办相关。）其系数办列式必为 ０17749考试 考研 学历 博士
由 A*A=AA* = |A|E 及定义得，若 Aα = λα，则 A*α =（|A|/λ）α72628考试 考研 学历 博士
（１）属于不同特征值地特征向量线性无关。81432考试 考研 学历 博士
零矩阵只有 n 重 ０ 特征。进而 A 也只能有 n 重 ０ 特征。8136考试 考研 学历 博士
逆向思维：太特殊了！“重特征值有亏损”，应该是常有地事。1468考试 考研 学历 博士
等式两端同乘以A地逆与数１/α，得 (A地逆)β =(１/α)β=（１/α， ---，１/α）ˊ68355考试 考研 学历 博士
例 已知三阶方阵A地特征值为 １，２，３ ；求|２(A地平方)－A|，|A－５E|94249考试 考研 学历 博士
（２）|A| = A地n个特征值地连乘积。43125考试 考研 学历 博士
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（２）|A| = A地n个特征值地连乘积。43125考试 考研 学历 博士
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76900考试 考研 学历 博士
（潜台词：（A－λE）x = ０ 解集秩为１）42056考试 考研 学历 博士
考试 考研 学历 博士
（潜台词：（A－λE）x = ０ 解集秩为１）42056考试 考研 学历 博士
（漫外音：左办右列作内积，左列由办得矩阵。（n×１）（１×n）= n×n ）46588考试 考研 学历 博士
此时，齐次线性方程组 （A－λE）x = ０ 即 A x = ０，以下是解齐次线性方程组地标准程序：（漫外音：记熟了，就有上“高速路”地感觉。）86109考试 考研 学历 博士
〖线性帮数〗第二板块是“方阵谱理论基础知知”。40988考试 考研 学历 博士
由 |A－λE | = ０ 解出A地n个特征值；对每个特征值λ分别解（A－λE）x = ０，全体非零解组成 A 地属于 λ 地特征向量集合。49792考试 考研 学历 博士
|２(A地平方)－A|= ９０76495考试 考研 学历 博士
例 A地属于不同特征值地特征向量，其线性组合一定不是特征向量。96385考试 考研 学历 博士
由AAˊ = ２E端取办列式，得 |A|&sup２; = １６ ，|A|=－４ ，答案 |A|/λ = ２√２36716考试 考研 学历 博士
例 已知四阶方阵 A 满足 |√２E + A|=０，且 AAˊ = ２E，|A|＜０，则A地伴随矩阵A* 有一个特征值为（ ）62610考试 考研 学历 博士
解析 |√２E + A|= ０ 即 | A－(－√２)E |= ０ , A有特征值λ= －√２38043考试 考研 学历 博士
Aβ =（α，α，---，α）ˊ= α（１，１，---，１）ˊ11745考试 考研 学历 博士
若 Aα=λα，则 (A地平方)α = A Aα = Aλα = λAα = (λ地平方)α 64083考试 考研 学历 博士
这个例子在理论上还是一个重要地范例，即7068考试 考研 学历 博士
上例同时说明，A可逆时，若A有特征值 λ，则(A地逆)有特征值 １/λ4672考试 考研 学历 博士
((A地平方)+ ２E)α =((λ地平方)+２)α58742考试 考研 学历 博士
（漫外音：这表明α是A地特征值，β 是 A 地属于特征值 α 地特征向量。）23089考试 考研 学历 博士
又是定义游戏；要要熟练地运用齐次线性方程组解集构造理论，快速地求出基础解系；还要知道点一元 n 次方程基础知知。特征理论地起点高啊。56606考试 考研 学历 博士
特征值与特征向量有两个重要性质：29498考试 考研 学历 博士
（潜台词：（n×n）×（n×１）=（n×１））37379考试 考研 学历 博士
A（αξ１+βξ２）= λ(αξ１+βξ２)，去括号得 αλ１ξ１+βλ２ξ２ = αλξ１+βλξ２87177考试 考研 学历 博士
大家所周知，|A+B|难解。有了A地n个特征值，我们可以计算 |多项矩阵 φ(A)|37784考试 考研 学历 博士
（漫外音：你有这样地观念了吗？一眼看去，Aα 就是个向量。）59406考试 考研 学历 博士
一般地说，设φ(t)是个多项式，把t换为方阵A，常数项添加单位矩阵 E，就得到多项式矩阵 φ(A)；若 Aα = λα，则 φ(A)α = φ(λ)α，即47656考试 考研 学历 博士
若 A 有特征值 λ，则多项式矩阵 φ(A)有特征值 φ(λ)，且相应特征向量不变。82904考试 考研 学历 博士
—→（A－λE）x = ０解集秩为３77159考试 考研 学历 博士
解析 A 有特征值１，２，３；则２(A地平方)－A有特征值 １，６，１５，20953考试 考研 学历 博士
设 A 是 n 阶方阵，若有非零向量 α ，数 λ，满足 Aα = λα，则称 λ 是 A 地特征值，α 是 A 地属于特征值 λ 地特征向量。63014考试 考研 学历 博士
设三阶方阵A有３重特征值λ，且λ不亏损。—→ 属于λ地特征向量集地秩 = ３10272考试 考研 学历 博士
“k重特征值相应地特征向量集地秩 ≤ 特征值地重数”95058考试 考研 学历 博士
中心问题是“方阵 A 与对角阵相似地充分必要条件。”87581考试 考研 学历 博士
人们用“露谱解析”办法来知别材料。我们把“特征理论”又称为“谱理论”。是感到矩阵地特征值是其深层次地标志。在各类应用中，如“层次解析法”（AHP）等，矩阵特征值起着关键作用。10013考试 考研 学历 博士
ξ１ =（β２/β１，１，０，------，０）ˊ，42720考试 考研 学历 博士
—→ n个分量得到 n－１ 个方程 —→最多可以确认A或α中地n－１个参数。71155考试 考研 学历 博士
特别重要是，在如上两种关系中，特征向量没有变化。12408考试 考研 学历 博士
将自由未知量组（x ２，------， x n ）ˊ取为n－１ 维向量地标准正交组，逐一帮回这个方程，解出x１，再回头将x１添入到标准正交组各向量作第一分量，就得到基础解系。88649考试 考研 学历 博士
帮数基本定理 一元 n次方程在复数域内有n个根。其中k重根算k个根。6808考试 考研 学历 博士
解析 求(A地平方)是个提示。(A地平方)= αβˊαβˊ=α(βˊα)βˊ= ０（矩阵）52333考试 考研 学历 博士
|A－λE | = ０ 是有关未知量 λ 地一元 n 次方程。42316考试 考研 学历 博士
Aα = λα —→ Aα∥α —→ 两个向量地对应分量成比例 —→98926考试 考研 学历 博士
（潜台词：要解多少个齐次线性方程组啊，相关程序不熟不办。）2536考试 考研 学历 博士
65151考试 考研 学历 博士
—→ 因为（（A－λE）x = ０解集秩）= ３－r (A－λE)，只有r (A－λE) = ０3863考试 考研 学历 博士
还有进一步地定义游戏。14285考试 考研 学历 博士
当然，单特征值相应地特征向量集地秩 = １，29903考试 考研 学历 博士
ξ２ =（β３/β１，０，１，------，０）ˊ，------，9608考试 考研 学历 博士
特征值与特征向量定义地几何意义，一度成为研考地考点。其基本逻辑为70491考试 考研 学历 博士
解析 不仿把问题简化。设 λ１，λ２是 A 地特征值两个不同地特征值。ξ１ 与 ξ２ 分别是其特征向量。87840考试 考研 学历 博士
即 若A有特征值 λ，则 A* 有特征值 |A|/λ88908考试 考研 学历 博士
解析 题面有点吓人，实际上只是个游戏。如何能得到“每办元素与”？玩熟了内积地人会想到让办向量与列向量 β =（１，１，---，１）ˊ作内积。即作矩阵乘法85704考试 考研 学历 博士
A 有特征值 １，２，３；则 A－５E有特征值－４，－３，－２，|A－５E|=－２４95317考试 考研 学历 博士
特征向量 ξ= C１ξ１ + C２ξ２ +------，+ C（n－１）ξ（n－１） ；系数不同时为０39920考试 考研 学历 博士
即 α（λ１－λ）ξ１ + β（λ２－λ）ξ２ = ０52997考试 考研 学历 博士
（反证法）若 αξ１+βξ２是A地特征向量，则它要属于某个特征值 λ，且由定义有66882考试 考研 学历 博士
ξ１与 ξ２ 线性无关，只有 λ１= λ = λ２ 矛盾。25226考试 考研 学历 博士
这样一来，假如λ是n阶方阵A地单特征值，则有“反控制”： r(A－λE)= n－１50197考试 考研 学历 博士
又不仿设 α１β１≠０ ；选第一个方程 α１β１ x１+------+ α１βn x n = ０ 来计算。48724考试 考研 学历 博士
ξ（n－１） =（βn/β１，０，０，------，１）ˊ，79700考试 考研 学历 博士
—→ 只能A =λE86772考试 考研 学历 博士
（漫外音：哇噻。真牛啊！一个定义给出两个概念，内中还隐含着算法。）92113考试 考研 学历 博士
教材上都不证明。对于数学一地考生来说，特殊情形“若n阶方阵A有n个单特征值，试证明属于不同特征值地特征向量线性无关。”是一个不错地练习题。76091考试 考研 学历 博士
例 方阵A可逆，且 A 地每办元素与都等于α，试证明A地逆每办与都等于１/α24157考试 考研 学历 博士
由矩阵乘积秩定理，显然有 r (A)=１，只有一个方程是独立地。解集秩 = n－１53401考试 考研 学历 博士
39111考试 考研 学历 博士
多项式 φ（λ）=|A－λE | 称为方阵 A 地特征多项式。8540考试 考研 学历 博士
例 已知非零地n维列向量α与β正交。作方阵 A = αβˊ，求(A地平方)及 A 地特征值与特征向量。73696考试 考研 学历 博士
在微分方程理论中，我们把“k重特征值相应地特征向量集地秩 ＜ 特征值重数”地情形。称为“重特征值有亏损”。其后果会自然体现在中心定理内。78227考试 考研 学历 博士
因为 Aα = λα 即 （A－λE）α = ０ ，齐次线性方程组（A－λE）x = ０有非零解α，（潜台词：其系数矩阵地列向量组线办相关。）其系数办列式必为 ０17749考试 考研 学历 博士
由 A*A=AA* = |A|E 及定义得，若 Aα = λα，则 A*α =（|A|/λ）α72628考试 考研 学历 博士
（１）属于不同特征值地特征向量线性无关。81432考试 考研 学历 博士
零矩阵只有 n 重 ０ 特征。进而 A 也只能有 n 重 ０ 特征。8136考试 考研 学历 博士
逆向思维：太特殊了！“重特征值有亏损”，应该是常有地事。1468考试 考研 学历 博士
等式两端同乘以A地逆与数１/α，得 (A地逆)β =(１/α)β=（１/α， ---，１/α）ˊ68355考试 考研 学历 博士
例 已知三阶方阵A地特征值为 １，２，３ ；求|２(A地平方)－A|，|A－５E|94249考试 考研 学历 博士
（２）|A| = A地n个特征值地连乘积。43125考试 考研 学历 博士
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