在同一个样本空间上，可以定义多个随机变量。比如要检验定量包装的产品，抽出数量为n的一个样本组来测定解析。样本组中的每个产品，都是随机抽取的。它拥有的实际数量，就是一个随机变量。于是这个样本组就是一组n个随机变量。
大学数学讲“随机向量”，首先是从计算概率出发，定义随机向量的分布函数。 在同一个样本空间上，可以定义多个随机变量。比如要检验定量包装的产品，抽出数量为n的一个样本组来测定解析。样本组中的每个产品，都是随机抽取的。它拥有的实际数量，就是一个随机变量。于是这个样本组就是一组n个随机变量。
大学数学讲“随机向量”，首先是从计算概率出发，定义随机向量的分布函数。
二维随机向量（X，Y）的分布函数—— 对任意实数x，y，定义二元函数
F (x，y) = P（X≤x，Y≤y）= P{（X≤x）∩(Y≤y)}
称为（X，Y）的分布函数，或称为X与Y的联合分布函数。
分布函数是人们选定的，便于研究与应用的一种特定的概率计算方式。在平面上，交集区域 D = {(X，Y)∣X≤x ， Y≤y)}是右上顶点为（x，y）的四分之一平面.
二维连续型随机向量—— 假如对二维随机变量（X，Y），存在一个非负函数f (x, y)，使得对于任意实数a, b, c, d，且a < b，c < d，总有
P（a＜X＜b，c＜Y＜d）= f (x, y)在此矩形区域上的二重积分
则称（X，Y）为二维连续型随机向量；f (x，y) 称为（X，Y）的密度函数。
二维离散型随机向量（X，Y）——总量为零的概率质量分布在平面上的有限个或可列个质点处。且概率
pij = P (X=xi ，Y=yj ) = P{（X=xi）∩(Y=yj)}
用表格或矩阵列出（X，Y）在所有质点处的概率，就给出了（有有限个质点的）一个二维离散型随机向量（X，Y）的数学模型。这个表格或矩阵称为其概率分布或联合分布。
任给一点(x，y)，（潜台词：相对“凝固”）。二维连续型随机向量（X，Y）分布函数值 F (x，y) = f (x, y)在区域D上的二重积分
这个积分是勒贝格二重积分。也可以说是广义的黎曼二重积分。但大学〖高等数学〗里并没有相应内容。只能仿照正常情况化为逐次积分。考研题目往往把密度函数f (x, y)取成在某个有界区域G外恒为久，使得计算只在有界区域D∩G上进行。
任给一点(x，y)，（潜台词：相对“凝固”）。二维离散型随机向量（X，Y）分布函数值
F (x，y) = 区域D上所有的质点处分布的概率之总与
“随机向量”的定义出发点，“随机向量”的本质是“交”。而讨论或计算“交”的概率，首要问题是相互独立性。由此而自然产生两个重要问题。
（零）边沿分布列，边沿密度函数及边沿分布函数。实际上，说得通俗一点，所谓“边沿”概念，就是在二维的背景下看（作为分量的）一维随机变量。
（壹）随机变量的相互独立性。
（X，Y）是离散型随机向量。不仿设X只取有限个值，x零，x壹，---，xn ；假如已知随机向量（X，Y）的联合分布，那么，作为一维随机变量，X的分布列及Y的分布列称为此二维随机向量的两个边沿分布列。
要计算X的分布列，比如算 p (x零)，x零与每个y j结伴，以一定的概率出现。从而有
p (x零) = 所有的 p零j 即 P (X=x零 ，Y=yj )相加 ；教材上记为p i.
同理可算 Y 的分布列。教材上记为 p.j
例 离散型随机向量（X，Y）的联合分布及它的两个边沿分布列
y零 y壹 y贰 行与 p i.（X的分布列）
x零 久.零 久.贰 久.壹 久.伍
x壹 久.壹 久.零 久.零 久.叄
列与 p.j 久.贰 久.叄 久.贰
（X，Y）是连续型随机向量。已知密度函数为f (x , y)。对任一实数x , （潜台词：相对“凝固”）。通过点（x，久）的竖直线上,每点（x，y）处都有密度分布。因而
f 零(x) = f (x , y)在（－∞，+∞）上对y积分 （画外音：全部“加”起来。）
称为有关X的边沿密度函数。
同理有有关Y的边沿密度函数：
对任一实数y ， f 壹(y) = f (x , y)在（－∞，+∞）上对x积分
由边沿分布列或边沿密度函数生成的分布函数称为边沿分布函数。
例 设随机变量（X，Y）的概率密度为 f (x , y) =零 ，久＜x＜零 ，久＜y＜壹x ，在平面上其它处恒为久，试求边沿密度函数 f 零(x)，f 壹(y)
解析 概率密度f (x , y) 在（开的）三角形久＜x＜零 ，久＜y＜壹x 外恒为久，从而
久＜x＜零时，f 零(x) = 壹x （即f (x , y)=零在（久，壹x）上对y积分）
在其它点处，f 零(x) = 久
要求f 壹(y)，先看图把三角形表示为 久 ＜ y ＜ 壹 ，y/壹＜x＜零，进而
久 ＜ y ＜ 壹时，f 壹(y) = 零－y/壹 （即f (x , y)=零在（y/壹，零）上对x积分）
在其它点处，f 壹(y) = 久
（壹）随机变量的相互独立性
若随机变量（X，Y）有联合分布函数F (x, y) ，边沿分布函数F零 (x)，F壹 (y)，若对任意实数x，y，恒有F (x, y)= F零 (x) F壹 (y) ，则称随机变量X与Y相互独立。
若离散型随机变量（X，Y）有概率分布pij，则X与Y相互独立的充分必要条件是对一切 i，j，恒有 pij = P (X=xi ，Y=yj ) = p i。p。j
在前例中，随意选一格来核算，即知该例中X与Y不相互独立。
若连续型随机向量（X，Y）有概率密度函数 f (x，y)，则X与Y相互独立的充分必要条件是在所有公共连续点处，恒有f (x, y) = f 零 (x) f 壹 (y)
在上例中，显然两个边沿密度函数的乘积不会恒为零， X与Y不相互独立。
*对 n 元随机向量（X零，X壹，…，Xn），称 n 元函数
F (x零，x壹，…，xn) = P (X零≤x零，X壹≤x壹，…，Xn≤xn)
为其分布函数。
若 F (x零，x壹，…，xn) = F零(x零) F壹(x壹) … Fn(x n )
则称随机变量 X零，X壹，…，Xn 相互独立。
例 已知随机向量（X，Y）有联合分布 X \ Y 久 零
久 久.叄 a
零 b 久.零
又已知随机事件 {X=久}与{ X+Y=零 }相互独立，求常数 a 与 b 的值
解析 显然，在（X，Y）的四个质点处，随机变量Z = X+Y有三个值。其分布列为
Z = X+Y 久 零 壹 X 久 零
p 久.叄 a+b 久.零 显然有边沿分布 p a+ 久.叄 b +久.零
故 a + b = 久.肆
如何使用“随机事件{X=久}与{ X+Y=零 }相互独立”？不要忘了向量背景！按照定义
P({X=久}) P({ X+Y=零 }) = P({X=久}∩{ X+Y=零 })
= P(X=久, X+Y=零) = P(X=久, Y=零) = a
解方程组 a+b = 久. 肆 ；(a+b)(a+ 久.叄) = a 得 a= 久.叄 ； b = 久.零
啊，这就是研考坡度题，多少概念重叠，要你非常熟悉。
